利用稀疏或生成先验求解含满秩矩阵的二次系统

从二次系统 $\{y_i=\boldsymbol x^\top\boldsymbol A_i\boldsymbol x,\ i=1,\ldots,m\}$（其中 $\boldsymbol A_i$ 为满秩矩阵）中恢复信号 $\boldsymbol x\in \mathbb{R}^n$ 的问题，在未分配距离几何与亚波长成像等应用中频繁出现。对于独立同分布的标准高斯矩阵 $\boldsymbol A_i$，本文通过引入 $\boldsymbol x$ 的先验知识来处理 $m\ll n$ 的高维情形。首先，我们考虑 $k$-稀疏的 $\boldsymbol x$，并引入无需稀疏度 $k$ 的阈值化Wirtinger流（TWF）算法。TWF包含两步：谱初始化在 $m=O(k^2\log n)$ 时确定一个足够接近 $\boldsymbol x$（至多符号翻转）的点；阈值化梯度下降在给定良好初始化后，利用 $m=O(k\log n)$ 个测量值产生线性收敛至 $\boldsymbol x$ 的序列。其次，我们探索生成先验，假设 $x$ 位于一个 $L$-Lipschitz连续生成模型的值域中，该模型以 $\ell_2$-球半径 $r$ 内的 $k$ 维输入为条件。借助与信号相关的估计量，我们开发了投影梯度下降（PGD）算法，同样包含两步：投影幂方法在 $m=O(k\log(Lnr))$ 个测量下给出具有 $O\big(\sqrt{\frac{k \log L}{m}}\big)$ $\ell_2$-误差的初始向量；投影梯度下降在 $m=O(k\log\frac{Lrn}{\delta^2})$ 时将 $\ell_2$-误差以几何速率精炼至 $O(\delta)$。实验结果证实了我们的理论发现，并表明：（i）我们针对稀疏情形的方法显著优于现有可证明算法稀疏幂分解；（ii）利用生成先验可从少量二次测量中在MNIST数据集上精确恢复图像。