通过指数型梯度下降算法求解二次方程系统

我们考虑来自二次测量的秩最小化问题，即从 $m$ 个标量测量 $y_i=a_i^{\top} XX^{\top} a_i,\;a_i\in \mathbb{R}^n,\;i=1,\ldots,m$ 中恢复秩为 $r$ 的矩阵 $X \in \mathbb{R}^{n \times r}$。该问题出现在多种应用中，如二次回归和量子态层析。我们提出了一种称为指数型梯度下降算法的新算法，用于最小化非凸目标函数 $f(U)=\frac{1}{4m}\sum_{i=1}^m(y_i-a_i^{\top} UU^{\top} a_i)^2$。该算法以精细的初始化开始，然后通过迭代应用指数型梯度下降来细化这一初始猜测。特别地，只要高斯随机测量数为 $O(nr)$，我们就能获得 $X$ 的一个良好初始猜测；而我们的迭代算法在 $m=O\left(nr\log (cr)\right)$ 个高斯随机测量下可线性收敛到真实的 $X$（相差一个正交矩阵）。