基于阈值Wirtinger流的噪声稀疏相位恢复的最优收敛速率

本文考虑噪声稀疏相位恢复问题：从噪声二次测量 $y_j = (a_j' x )^2 + \epsilon_j$, $j=1, \ldots, m$ 中恢复稀疏信号 $x \in \mathbb{R}^p$，其中 $\epsilon_j$ 为独立的亚指数噪声。目标是理解 $x$ 的稀疏性对估计精度的影响，并构造计算可行的估计量以达到最优速率。受针对无噪声非稀疏相位恢复提出的Wirtinger Flow [12] 启发，本文提出一种新颖的阈值梯度下降算法，并证明当 $a_j$ 为独立标准高斯随机向量且样本量相对于 $x$ 的稀疏性足够大时，该算法能在广泛的稀疏性水平上自适应地达到极小极大最优收敛速率。