基于硬阈值追踪从无相位测量中恢复稀疏信号

本文中，我们考虑稀疏相位恢复问题，即从 $m$ 个无相位样本 $y_i=|\langle\bm{x}^{\natural},\bm{a}_i\rangle|$（$i=1,\ldots,m$）中恢复 $s$-稀疏信号 $\bm{x}^{\natural}\in\mathbb{R}^n$。现有的稀疏相位恢复算法通常是一阶的，因此至多线性收敛。受压缩感知中硬阈值追踪（HTP）算法的启发，我们提出一种高效的二阶稀疏相位恢复算法。当 $\{\bm{a}_i\}_{i=1}^{m}$ 为 i.i.d. 标准高斯随机向量且 $m\sim O(s\log(n/s))$、初始化在底层稀疏信号邻域内时，我们提出的算法在理论上保证能在有限步（特别地，至多 $O(\log m + \log(\|\bm{x}^{\natural}\|_2/|x_{\min}^{\natural}|))$ 步）内给出精确的稀疏信号恢复。结合谱初始化，我们的算法保证能从 $O(s^2\log n)$ 个样本中精确恢复。由于我们提出算法的每次迭代计算代价与流行的一阶算法同阶，因此我们的算法极其高效。实验结果表明，我们的算法可比现有稀疏相位恢复算法快数倍。