基于早停镜像下降的含噪稀疏相位恢复近极小极大最优速率

本文研究应用于含噪稀疏相位恢复的早停镜像下降方法，该问题是从一组被次指数噪声污染的二次高斯测量中恢复 $k$-稀疏信号 $\mathbf{x}^\star\in\mathbb{R}^n$。我们考虑（非凸）无正则化经验风险最小化问题，并证明早停镜像下降在配备双曲熵镜像映射和适当初始化时，只要样本量至少为 $k^2$ 量级（忽略对数项）且信号的最小（按模）非零元素为 $\|\mathbf{x}^\star\|_2/\sqrt{k}$ 量级，即可达到近极小极大最优收敛速率。我们的理论给出了一种简单算法，其不依赖显式正则化或阈值化步骤来诱导稀疏性。更一般地，我们的结果在含噪稀疏相位恢复这一非凸问题中建立了镜像下降与稀疏性之间的联系，补充了现有主要基于梯度下降、聚焦于非稀疏、欧氏和凸设定下早停的文献。我们的证明将镜像下降的基于势的分析与我们所建立的、沿镜像下降路径直至规定停止时间的变分相干性质的定量控制相结合。