稀疏逼近性质与含噪测量中稀疏信号的稳定恢复

本文针对测量矩阵 ${\bf A}$ 引入了 $s$ 阶稀疏逼近性质：$$\|{\bf x}_s\|_2\le D \|{\bf A}{\bf x}\|_2+ \beta \frac{\sigma_s({\bf x})}{\sqrt{s}} \quad {\rm for\ all} \ {\bf x},$$ 其中 ${\bf x}_s$ 是向量 ${\bf x}$ 在 $\ell^2$ 中的最佳 $s$ 稀疏逼近，$\sigma_s({\bf x})$ 是向量 ${\bf x}$ 在 $\ell^1$ 中的 $s$ 稀疏逼近误差，$D$ 和 $\beta$ 为正常数。测量矩阵的稀疏逼近性质可视为其受限等距性质的弱化版本及其零空间性质的强化版本。本文证明，稀疏逼近性质是测量矩阵在考虑从含噪测量中稳定恢复任意可压缩信号时的恰当条件。特别地，我们证明：若测量矩阵具有 $\beta\in (0,1)$ 的稀疏逼近性质，则任意可压缩信号可通过求解 $\ell^1$ 最小化问题从其含噪测量中稳定恢复；反之，若任意可压缩信号可通过求解 $\ell^1$ 最小化问题从其含噪测量中稳定恢复，则测量矩阵具有 $\beta\in (0,\infty)$ 的稀疏逼近性质。