具有最小扩张的正信号稀疏恢复

我们研究了从低维线性测量中重建高维非负稀疏向量的稀疏恢复问题。虽然许多工作集中在稠密测量矩阵上，但在 DNA 微阵列和传感器网络等应用中，稠密测量实际上不可行，因此稀疏测量方案至关重要。一种可能的构造使用扩张图（expander graphs）的邻接矩阵，这通常导致比 $\ell_1$ 最小化高效得多的恢复算法。然而，迄今为止，基于扩张图的构造需要非常高的扩张系数，这可能使得此类图的构造变得困难，并且可恢复集合的规模很小。在本文中，我们通过使用具有小得多的扩张系数的扩张图邻接矩阵的扰动，构造了用于恢复非负向量的稀疏测量矩阵。我们提出了 $\ell_1$ 优化成功恢复未知向量的充要条件，并得到了恢复阈值的表达式。对于某些类别的测量矩阵，该充要条件进一步等价于约束集中存在一个“唯一”向量，这为替代 $\ell_1$ 最小化的算法打开了大门。我们进一步证明，我们使用的最小扩张对于任何可能实现稀疏恢复的图都是必要的，因此我们的构造是紧的。最后，我们提出了一种利用扩张特性的新型恢复算法，其速度远快于 $\ell_1$ 优化。最后，通过理论界限和仿真，我们证明了我们的方法对噪声和近似稀疏性具有鲁棒性。