利用高质量扩张图实现高效稳健的压缩感知

扩张图近期被提出用于构建高效的压缩感知算法。具体而言，已有研究表明，任何 $n$ 维 $k$-稀疏向量（其中 $k\ll n$）均可通过 $O(k\log\frac{n}{k})$ 次测量和仅 $O(k\log n)$ 次简单的恢复迭代完全重构。本文通过考虑扩张系数超过 3/4 的扩张图改进了该结果，表明在相同测量次数下，仅需 $O(k)$ 次恢复迭代，当 $n$ 较大时这是一个显著改进。事实上，完全重构最多只需 $2k$ 次非常简单的迭代。迭代次数可任意接近 $k$，且恢复算法可利用简单的二叉搜索树高效实现。我们还表明，若容忍测量次数上的微小代价（而非恢复迭代次数），则利用一族扩张图的高效构造，可为该方法构建显式的测量矩阵。我们将结果与其他近期发展的基于扩张图的方法进行比较，论证其在所需测量次数和恢复时间复杂度方面均具有优势。最后，我们将展示如何将分析扩展为一种稳健算法，该算法能定位并确定近似 $k$-稀疏信号中 $k$ 个显著元素的符号，随后利用非常简单的优化技术，在次线性时间内找到一个以极高精度逼近原始信号的 $k$-稀疏信号。