自适应在稀疏恢复中的能力

(稳定) 稀疏恢复的目标是从向量 $x$ 的线性测量中恢复其 $k$-稀疏近似 $x^*$。具体而言，目标是恢复 $x^*$，使得对于某个常数 $C$ 和范数参数 $p$ 与 $q$，满足 $||x-x^*||_p \le C \min_{k\text{-sparse } x'} ||x-x'||_q$。已知对于 $p=q=1$ 或 $p=q=2$，该任务可使用 $m=O(k \log (n/k))$ 次非自适应测量完成 [CRT06]，且该界限是紧的 [DIPW10,FPRU10,PW11]。本文表明，若允许进行自适应测量，则测量次数可显著减少。具体而言，对于 $C=1+\epsilon$ 和 $p=q=2$，我们展示了：一种使用 $m=O((1/\epsilon)k \log \log (n \epsilon/k))$ 次测量且仅需 $O(\log^* k \log \log (n \epsilon/k))$ 轮次的方案。这显著优于最佳可能的非自适应界限。一种使用 $m=O((1/\epsilon) k \log (k/\epsilon) + k \log (n/k))$ 次测量且仅需两轮的方案。这也优于最佳可能的非自适应界限。据我们所知，这是此类结果的首次报道。作为一个独立应用，我们展示了如何仅用 $O(\log n)$ 比特空间和 $O(\log \log n)$ 次遍历，在从 $\{1, 2, ..., n-1\}$ 中抽取的 $n$ 个数据流中找到重复项，从而优于单遍遍历所能达到的最佳空间复杂度。