正交匹配追踪用于精确稀疏恢复的信号相关性能分析

从线性测量 $y=Ax$ 中精确恢复 $K$-稀疏信号 $x \in \mathbb{R}^{n}$(其中 $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ 为感知矩阵)源于诸多应用。正交匹配追踪(OMP)算法被广泛用于重建 $x$。OMP 性能分析中的一个基本问题是对随机矩阵 $A$ 下 $x$ 精确恢复概率的刻画,以及保证目标恢复性能所需的最小 $m$。在许多实际应用中,除稀疏性外,$x$ 还具有一些附加性质。本文表明这些性质可用于精炼上述问题的答案。本文首先表明,$x$ 非零元素的先验信息可用于给出 $\|x\|_1^2/\|x\|_2^2$ 的上界。然后,我们利用该上界推导出 OMP 在 $K$ 次迭代内精确恢复 $x$ 的概率下界。进而,我们给出测量数 $m$ 的下界,以保证使用 $K$ 次 OMP 迭代的精确恢复概率不小于给定目标概率。最后,我们证明当 $K=O(\sqrt{\ln n})$ 时,随着 $n$ 和 $K$ 趋于无穷,对任意 $0<\zeta\leq 1/\sqrt{\pi}$,$m=2K\ln (n/\zeta)$ 次测量足以保证使用 $K$ 次 OMP 迭代精确恢复任意 $K$-稀疏 $x$ 的概率不低于 $1-\zeta$。对于 $K$-稀疏 $\alpha$-强衰减信号以及非零元素独立同分布于高斯分布的 $K$-稀疏 $x$,以不低于 $1-\zeta$ 概率精确恢复所需的测量数进一步分别减少至 $m=(\sqrt{K}+4\sqrt{\frac{\alpha+1}{\alpha-1}\ln(n/\zeta)})^2$ 和渐近地 $m\approx 1.9K\ln (n/\zeta)$。