通过广义正交匹配追踪恢复稀疏信号：一种新分析

作为正交匹配追踪 (OMP) 的扩展，广义 OMP (gOMP) 提高了稀疏信号的恢复性能，近期在文献中得到了研究。在本文中，我们利用受限等距性质 (RIP) 对 gOMP 算法进行了新的分析。我们表明，如果测量矩阵 $\mathbf{\Phi} \in \mathcal{R}^{m \times n}$ 满足 RIP 且 $$\delta_{\max \left\{9, S + 1 \right\}K} \leq \frac{1}{8},$$ 则 gOMP 能在 $\max \left\{K, \left\lfloor \frac{8K}{S} \right\rfloor \right\}$ 次迭代内，从含噪测量 $\mathbf{y} = \mathbf{\Phi x} + \mathbf{v}$ 中稳定地重建所有 $K$-稀疏信号 $\mathbf{x} \in \mathcal{R}^n$，其中 $\mathbf{v}$ 是噪声向量，$S$ 是 gOMP 算法每次迭代中选择的索引数量。对于高斯随机测量，我们的结果表明所需测量次数本质上是 $m = \mathcal{O}(K \log \frac{n}{K})$，相较于现有结果 $m = \mathcal{O}(K^2 \log \frac{n}{K})$ 这是一个显著的改进，尤其是对于大 $K$ 值。