稀疏恢复的下界

我们考虑以下 k-稀疏恢复问题：设计一个 $m \times n$ 矩阵 $A$，使得对于任意信号 $x$，给定 $Ax$，我们可以高效地恢复 $x'$，满足 $||x-x'||_1 \leq C \min_{\text{k-sparse } x''} ||x-x''||_1$。已知存在具有此性质的矩阵 $A$ 仅需 $O(k \log (n/k))$ 行。在本文中，我们证明该界是紧的。我们的界甚至适用于该问题更一般的/随机化/版本，其中 $A$ 是一个随机变量，且要求恢复算法以常数的概率（对 $A$ 取期望）对任意固定的 $x$ 均有效。