欠定线性方程组稀疏整数解的恢复

我们考虑一个包含$n$个变量的$m$个线性方程组$Ax=b$，其中$A$是给定的$m \times n$矩阵，$b$是给定的$m$维向量，且已知$b$等于某个未知解$x'$的$Ax'$，其中$x'$是整数且$k$-稀疏：$x' \in \{0,1\}^n$且$x'$中恰好有$k$个元素为 1。我们给出了利用最小化$x$的$l_1$范数的线性规划（LP）松弛来精确恢复解$x$的充要条件。当$A$从具有可交换列的分布中抽取时，我们展示了恢复概率与几何学中一个著名问题（即$k$-集问题）之间的有趣联系。据我们所知，这种联系在压缩感知文献中似乎是新的。我们通过实验表明，对于大的$n$，如果$A$的元素独立同分布地取自正态分布，则恢复 LP 的性能表现出相变，即对于每个$k$，存在一个$m$的值$m'$，使得当$m > m'$时恢复总是成功，而当$m < m'$时恢复总是失败。利用实验数据，我们猜想$m' = nH(k/n)/2$，其中$H(x) = -(x)\log_2(x) - (1-x)\log_2(1-x)$是二元熵函数。