基于统计相干性的最稀疏过完备表示鲁棒恢复理论

最稀疏过完备表示的恢复近年来因其在信号处理、医学成像、通信等多个应用领域的重要潜力而吸引了大量研究活动。该问题可以表述如下：即在一个冗余字典上，为给定的含噪观测值寻找稀疏系数向量，其中是加性误差。Elad等人给出了最坏情况下的结果，该结果表明在条件下，最稀疏过完备表示稳定恢复的条件是。尽管该结果对于任何给定矩阵都易于操作，但在许多情况下无法为我们提供实际指导。另一方面，大多数关于稀疏重构的流行分析严重依赖于Candes等人发展的矩阵的所谓RIP（受限等距性质），而对于给定的测量矩阵，该性质通常非常难以甚至不可能验证。在本文中，我们引入了一种简单有效的方法，基于相干系数的统计分析来确定给定字典D恢复稀疏信号的能力，其中是给定测量矩阵任意两列之间的相干系数。所提出范式的关键机制在于对统计分布（均值和协方差）的分析。我们证明，如果的均值为零，且其协方差尽可能小，那么我们可以以压倒性概率从最少数量的含噪测量中忠实地恢复近似稀疏信号。所得理论不仅适用于压缩采样文献中讨论的几乎所有模型（例如高斯、频率测量），而且也为新的测量策略提供了框架。