从二次测量中恢复结构化信号：通过非凸优化突破样本复杂度壁垒

本文研究从$m$个形式为$y_r=|<a_r,x>|^2$（$r=1,2,...,m$）的二次测量中恢复未知但结构化的信号$x \in R^n$的问题。我们重点关注欠定设定，即测量数量远小于信号维度（$m<<n$）。我们将该恢复问题表述为一个非凸优化问题，其中关于信号的先验结构信息通过对优化变量的约束来施加。我们证明，当在目标信号的邻域内进行初始化时，投影梯度下降以线性速率收敛至该未知信号。这些结果适用于任何约束集（凸或非凸），即使目标函数和约束集是非凸的，也能提供收敛至全局最优的保证。此外，这些结果在测量数量仅需与唯一确定未知信号所需的最小测量数量相差一个常数因子时即可成立。我们的结果为这种数据匮乏场景提供了首个可证明可处理的算法，打破了近期文献中出现的局部样本复杂度壁垒。在一篇配套论文中，我们展示了该优化问题的良好性质，这些性质可能使类似结果得以在更全局的范围内（即整个环境空间中）继续成立。这两篇论文综合运用并发展了经验过程一致收敛的强大工具，这可能对严格理解受约束非凸优化启发式方法具有更广泛的意义。本文的数学结果也为新一代数据驱动的无相位成像系统铺平了道路，这些系统能够利用先验信息显著缩短采集时间并增强图像重建能力，从而实现前所未有的速度和分辨率的纳米级成像。