从任意基下的少量系数恢复低秩矩阵

我们提出了分析低秩矩阵恢复问题的新技术。这些方法比之前的方法既简单得多，也更具一般性。研究表明，一个未知的 (n x n) 秩为 r 的矩阵，可以从相对于任意给定矩阵基的仅 O(n r nu log^2 n) 个随机采样展开系数中高效重建。数量 nu 量化了未知矩阵与基之间的“非相干程度”。现有工作主要集中在“矩阵补全”问题上，即从随机选择的矩阵元素中恢复低秩矩阵。我们的结果涵盖了这种情况作为特例。证明由一系列相对初等的步骤组成，这与之前为获得类似结果而采用的极其复杂的方法形成鲜明对比。在之前已知界限的情况下，我们的估计略为严格。我们讨论了与所有低秩矩阵同时非相干的算子基。对于这些基，我们证明 O(n r nu log n) 个随机采样展开系数足以高概率地恢复任何低秩矩阵。后一个界限在乘法常数意义下是紧的。