样本高效低秩相位恢复

本研究探讨低秩相位恢复（LRPR）问题：从 $y_k = |A_k^\top x^*_k|$（$k=1, 2,..., q$）中恢复一个 $n \times q$ 秩-$r$ 矩阵 $X^*$，其中每个 $y_k$ 是包含 $x^*_k$ 无相位线性投影的 m 长度向量。不同矩阵 $A_k$ 独立同分布，且每个含独立同分布标准高斯元素。我们获得了 AltMinLowRaP 的改进保证，该方法是近期工作中提出并研究的 LRPR 交替最小化解法。只要 $X^*$ 的右奇异向量满足不相干假设，我们可证明当总测量数 $mq \gtrsim nr^2 (r + \log(1/\epsilon))$ 时，AltMinLowRaP 估计以几何速率收敛到 $X^*$。此外，由于问题特定的非对称性质，我们还需要 $m \gtrsim max(r, \log q, \log n)$。与近期工作相比，我们将 AltMin 迭代的样本复杂度改进了 $r^2$ 倍，初始化样本复杂度改进了 $r$ 倍。我们还将结果推广到含噪情形，证明了其对小的加性噪声破坏具有稳定性。