可证明的低秩相位恢复

我们研究低秩相位恢复（LRPR）问题，定义如下：从其各列的一组不同且独立的 $m$ 个无相位（仅幅值）线性投影中恢复秩为 $r$ 的 $n \times q$ 矩阵 $X^*$。确切地说，当测量矩阵 $A_k$ 相互独立时，我们需要从 $y_k := |A_k{}' x^*_k|, k=1,2,\dots, q$ 恢复 $X^*$。这里 $y_k$ 是长度为 $m$ 的向量，$A_k$ 是 $n \times m$ 矩阵，$'$ 表示矩阵转置。问题是什么时候我们可以用 $m \ll n$ 求解 LRPR？可靠的解决方案可实现快速且低成本的无相位动态成像，例如活体生物标本的傅里叶叠层成像。本工作中，我们开发了首个可证明正确的解决该 LRPR 问题的方法。我们提出的算法，低秩相位恢复的交替最小化（AltMinLowRaP），是一种基于 AltMin 的解法，因此也可证明是快速的（几何收敛）。我们的保证表明，只要 $m q \ge C n r^4 \log(1/\epsilon)$、矩阵 $A_k$ 包含独立同分布的标准高斯元素、且 $X^*$ 的右奇异向量满足矩阵补全文献中的不相干假设，AltMinLowRaP 就能以高概率将 LRPR 求解到 $\epsilon$ 精度。这里 $C$ 是仅依赖于 $X^*$ 的条件数及其不相干参数的数值常数。其时间复杂度仅为 $C mq nr \log^2(1/\epsilon)$。由于即使上述问题的线性（带相位）版本也未完全解决，上述结果也是该线性情形的首个完整解与保证。最后，我们还对动态 LRPR 设置下的结果做了简单扩展。