仿射矩阵秩最小化问题的一种新的非凸策略

仿射矩阵秩最小化（AMRM）问题是在给定线性系统约束下寻找最小秩矩阵的问题。它在控制、推荐系统、矩阵补全和网络定位等一些重要领域有许多应用。然而，由于矩阵秩函数的组合性质，该问题（AMRM）通常是NP难的。已有许多替代函数被提出以替代矩阵秩函数，从而引出许多相应的替代最小化问题，可通过一些流行的凸或非凸优化算法高效求解。本文提出一种新的非凸函数，即$TL_{\alpha}^{\epsilon}$函数（其中$0\leq\alpha<1$且$\epsilon>0$），以逼近秩函数，并将NP难问题（AMRM）转化为$TL_{p}^{\epsilon}$函数仿射矩阵秩最小化（TLAMRM）问题。首先，我们研究了问题（AMRM）与（TLAMRM）的等价性，并证明若线性映射$\mathcal{A}$满足限制等距性质（RIP），则问题（TLAMRM）的全局极小元唯一性也求解NP难问题（AMRM）。其次，提出一种迭代阈值算法求解所有$0\leq\alpha<1$且$\epsilon>0$的正则化问题（RTLAMRM）。最后，低秩矩阵补全问题的一些数值结果表明我们的算法能够恢复低秩矩阵，且图像修复问题的大量数值实验表明，与一些最先进的方法相比，我们的算法在寻找低秩图像方面表现最佳。