基于幅度模型在复数相位恢复中的性能

本文旨在研究基于幅度的模型 \newline $\widehat{\mathbf x} \in {\rm argmin}_{{\mathbf x}\in \mathbb{C}^d}\sum_{j=1}^m\left(|\langle {\mathbf a}_j,{\mathbf x}\rangle|-b_j\right)^2$ 的性能，其中 $b_j:=|\langle {\mathbf a}_j,{\mathbf x}_0\rangle|+\eta_j$，且 ${\mathbf x}_0\in \mathbb{C}^d$ 为目标信号。该模型在相位恢复以及绝对值整流神经网络中被提出。过去几十年中已发展出许多高效算法来求解它。{然而，关于噪声条件下复数情形中估计性能的结果极少。}在本文中，{我们给出了噪声复数相位恢复问题中基于幅度模型的理论保证}。具体而言，我们证明：当测量向量 ${\mathbf a}_j\in \mathbb{C}^d,$ $j=1,\ldots,m,$ 为 {i.i.d.} 复次高斯随机向量且 $m\gtrsim d$ 时，以高概率成立 $\min_{\theta\in[0,2\pi)}\|\widehat{\mathbf x}-\exp(\mathrm{i}\theta)\cdot{\mathbf x}_0\|_2 \lesssim \frac{\|{\mathbf \eta}\|_2}{\sqrt{m}}$。此处 ${\mathbf \eta}=(\eta_1,\ldots,\eta_m)\in \mathbb{R}^m$ 为噪声向量，对其分布无任何假设。此外，我们证明该重构误差是紧的。对于目标信号 ${\mathbf x}_0\in \mathbb{C}^{d}$ 稀疏的情形，我们针对非线性约束的 $\ell_1$ 最小化模型建立了类似结果。{为此，我们利用同时低秩与稀疏矩阵空间上算子的一个强限制等距性质版本。}