稳定相位检索：在泊松和重尾模型中的最优速率

我们研究了在两种现实且具有挑战性的噪声模型下进行相位检索的稳定恢复保证：泊松模型和重尾模型。我们的分析涵盖了非凸最小二乘（NCVX-LS）和凸凸最小二乘（CVX-LS）估计器。对于泊松模型，我们证明在高能 regime 中，其中真实信号 $pmb{x}$ 超过一定能量阈值后，两种估计器都实现了信号独立的、渐进最优的误差速率 $\mathcal{O}(\sqrt{\frac{n}{m}})$，其中 $n$ 表示信号维数，$m$ 表示采样向量的数量。相比之下，在低能 regime 中，NCVX-LS 估计器达到的误差速率为 $\mathcal{O}(\|\pmb{x}\|^{1/4}_2\cdot(\frac{n}{m})^{1/4})$，该速率随信号能量 $pmb{x}$ 的减小而减小，并与过抽样比例几乎保持最优。这表明在泊松设置下存在信号能量自适应行为。对于具有有限 $q$ 次矩（$q>2$）的重尾模型，两种估计器在高能 regime 下均达到渐进最优误差速率 $\mathcal{O}( \frac{\| \xi \|_{L_q}}{\| \pmb{x} \|_2} \cdot \sqrt{\frac{n}{m}} )$，而 NCVX-LS 估计器在低能 regime 下进一步实现渐进最优速率 $\mathcal{O}( \sqrt{\|\xi \|_{L_q}}\cdot (\frac{n}{m})^{1/4} )$。我们的分析建立在两个关键思想之上：用于处理可能 exhibits 依赖于采样向量的噪声的乘子不等式，以及将泊松噪声在高能 regime 中解释为亚指数分布，而在低能 regime 中解释为重尾分布。这两个观察为统一的分析框架奠定了基础，我们进一步将其应用于一系列相关问题，包括稀疏相位检索、低秩 PSD 矩阵恢复和随机盲解卷积。