PhaseLift对恒定比例的任意误差具有鲁棒性

考虑从无相位线性测量中恢复未知$n$维向量的任务。该任务即相位恢复问题。通过提升技术，这一非凸问题可被凸化为一个半定秩一矩阵恢复问题，称为PhaseLift。在线性数量的精确高斯测量下，PhaseLift以高概率精确恢复未知向量。在含噪测量下，PhaseLift某变体的解具有与噪声的$\ell_1$范数成比例的误差。在本文中，我们研究该PhaseLift变体在同时存在噪声和严重任意损坏情况下的鲁棒性。我们证明，即使在仅有$O(n)$测量的高度欠定情形下，PhaseLift也能容忍一小部分固定的严重错误。提升后的相位恢复问题可视为在一般秩一测量下的秩一鲁棒主成分分析（PCA）问题。从这一视角看，所提出的凸程序比鲁棒PCA文献中标准的稀疏加低秩公式的半定版本更简单。具体而言，通过迹项进行的秩惩罚是不必要的，且所得优化程序无需选择任何参数。本工作还实现了$O(n)$测量的信息论最优缩放，而没有现有一般鲁棒PCA结果中出现的额外对数因子。