稳定的主成分追踪

在本文中，我们研究从高维数据矩阵中恢复低秩矩阵（主成分）的问题，尽管数据同时受到小的逐元素噪声和大的稀疏误差的影响。最近的研究表明，一个名为主成分追踪（PCP）的凸规划可以在数据矩阵被大的稀疏误差破坏时恢复低秩矩阵。我们进一步证明，一个相关凸规划（松弛的PCP）的解给出的低秩矩阵估计，同时对小逐元素噪声稳定且对大稀疏误差鲁棒。更精确地说，我们的结果表明，即使矩阵中正比例的条目被任意破坏，所提出的凸规划也能恢复低秩矩阵，且误差界与噪声水平成比例。我们给出仿真结果来支持我们的结论，并证明新的凸规划在相当广泛的条件下能准确恢复主成分（低秩矩阵）。据我们所知，这是第一个表明经典的、对独立同分布小噪声最优的主成分分析（PCA）能够对大稀疏误差鲁棒的结果；或者第一个表明新提出的PCP能够对小逐元素扰动稳定的结果。