PhaseLiftOff：一种基于迹与 Frobenius 范数差的精确稳定相位恢复方法

相位恢复旨在从其幅度测量值 $|<x, a_i > |^2$ ($i=1,2,...,m$) 中恢复信号 $x \in \mathbb{C}^{n}$，其中 $a_i$ 是过完备基向量，且 $m$ 至少为 $3n -2$ 以确保解在常数相位因子意义下唯一。二次测量在秩一矩阵 $X = x x^*$ 项下变为线性。相位恢复随后成为一个受线性约束的秩一最小化问题，基于迹范数最小化 (PhaseLift) 的凸松弛方法最近已被广泛研究。在 $m=O(n)$ 时，PhaseLift 能以高概率恢复秩一解。在本文中，我们通过迹与 Frobenius 范数之差提出了一个精确的秩一条件代理，称之为 PhaseLiftOff。在测量噪声满足温和条件的情况下，以此惩罚项作为正则化的相关最小二乘最小化等价于秩一最小二乘问题。在 $m=O(n)$ 时，稳定的恢复误差估计以高概率成立。PhaseLiftOff 最小化的计算通过收敛的凸函数差算法进行。在我们的数值示例中，$a_i$ 服从高斯分布。数值结果表明，PhaseLiftOff 优于 PhaseLift 及其非凸变体（对数行列式正则化），并在无噪声情况下成功恢复了接近测量数量理论下限的信号。