一个类似于 Graham-Pollak 定理的新结果

设 $n>1$ 为整数，$T$ 为具有 $n+1$ 个顶点 $v_1,\ldots,v_{n+1}$ 的树，其中 $v_1$ 与 $v_{n+1}$ 是 $T$ 的两片叶子。对 $T$ 的每条边 $e$，赋予复数 $w(e)$ 作为其权。我们得到 $$\det[x+d(v_{j+1},v_k)]_{1\le j,k\le n}=2^{n-2}\prod_{e\in E(T)}w(e),$$ 其中 $d(v_{j+1},v_k)$ 是树 $T$ 中 $v_{j+1}$ 与 $v_k$ 之间的加权距离。这类似于著名的关于树的距离矩阵行列式的 Graham-Pollak 定理。实际上，本文推导出了一个更一般的结果。