高维树距离矩阵的 Smith 标准形

Graham-Lov\'asz-Pollak \cite{GL,GP} 获得了对于任意树 $T_{n+1}$ 的距离矩阵 ${\sf D}(T_{n+1})$ 的行列式公式 $$\det({\sf D}(T_{n+1}))=(-1)^nn2^{n-1},$$ 的著名公式。后来，Hou 和 Woo \cite{HW} 将该公式扩展到 Smith 标准形 (SNF)，得到 $\SNF({\sf D}(T_{n+1}))={\sf I}_2\oplus 2{\sf I}_{n-2}\oplus [2n]$，对于任意具有 $n+1$ 个顶点的树 $T_{n+1}$。$k$-树要么是 $k$ 个顶点的完全图，要么是从较小的 $k$-树通过添加一个新顶点并将其与 $k$-团的 $k$ 条边相连获得的图。如果 $\tau$ 和 $\tau'$ 是 $k$-树 $T$ 中的 $d$-团，$\tau$ 和 $\tau'$ 之间的 $d$-步是有限序列 $\tau_1\sigma_1\tau_2\sigma_2\cdots\tau_l$，其中 $\tau_1=\tau$，$\tau_l=\tau'$，且 $d$-团 $\tau_i$ 和 $\tau_{i+1}$ 都位于同一个 $(d+1)$-团 $\sigma_i$ 中。对于 d\in\{1,\dots,k}，从 $d$-团 $\tau$ 和 $\tau'$ 的 $d$-距离是从 $\tau$ 和 $\tau'$ 到最小 $d$-步中 $(d+1)$-团的个数，用 $\dist^d(\tau,\tau')$ 表示。设 $c_d$ 表示 $k$-树 $T$ 中 $d$-团的个数。则 $k$-树 $T$ 的 $d$-距离矩阵 ${\sf D}^d(T)$ 是 $c_d\times c_d$ 的矩阵，用 $d$-团 $T$ 的索引表示，其 $(i,j)$ 项为 $i=j$ 时为 $0$，否则为 $\dist^d(\tau_i,\tau_j)$。在本文中，我们证明对于固定的 $k$ 和 $n$，$k$-距离矩阵的 SNF 对任何具有 $n$ 个顶点的 $k$-树均相同。具体而言，对于任意具有 $n$ 个顶点的 $k$-树 $T_{n}$，其中 $n\geq k+2$，${\sf D}^{k}(T_{n})$ 的 Smith 标准形为 $${\sf I}_{(k-1)(n-k)+2}\oplus (k+1){\sf I}_{n-k-2}\oplus [k(k+1)(n-k)],$$ 这扩展了 Graham-Lov\'asz-Pollak 和 Hou-Woo 的结果。