Dynkin 图 $D_n$ 的游程矩阵

设 $W(D_n)$ 表示 Dynkin 图 $D_n$ 的游程矩阵，该图是在 $n-1$ 阶路经上于第二个顶点处添加一条悬挂边所得的树。我们证明：若 $4\mid n$，则 $\text{rank}\,W(D_n)=n-2$；否则 $\text{rank}\,W(D_n)=n-1$。此外，我们证明当 $4\nmid n$ 时，$W(D_n)$ 的 Smith 标准形为 $$\text{diag}[\underbrace{1,1,\ldots,1}_{\lceil\frac{n}{2}\rceil},\underbrace{2,2,\ldots,2}_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1},0]$$。这证实了 [W.Wang, F.Liu, W.Wang, Generalized spectral characterizations of almost controllable graphs, European J. Combin., 96(2021):103348] 中近期的一个猜想。