树的距离矩阵：两个更多不变量及其统一框架

Graham-Pollak证明，对于树$T$的距离矩阵$D = D_T$，det$(D)$仅依赖于其边数。人们研究了$D$的若干变体，包括有向/乘法/$q$-版本，且总有det$(D)$仅依赖于边数据。我们为双向加权树引入了一个通用框架，具有三重意义。首先，即便在经典的Graham-Pollak情形中，我们也改进了所有已知变体的现有最优结果：我们从$D$的行/列中删除任意悬挂节点（及更一般的子集），并证明这些子式不依赖于树结构。其次，我们的设定统一了所有已知变体（元素在交换环中）。我们进一步以闭式计算了$D^{-1}$，推广了Graham-Lovasz [Adv. Math. 1978]的结果，并更一般地回答了Bapat-Lal-Pati [Lin. Alg. Appl. 2006]的一个开放问题。第三，我们计算了矩阵$D$的第二个函数：其所有余子式之和cof$(D)$。这在最简单的设定下由Graham-Hoffman-Hosoya（1978）给出，但在其他变体中较少被探索。我们在通用设定下证明了更强的结果，对上述子式计算cof$(.)$，并表明它们也仅依赖于边数据。最后，我们表明我们的设定是“最一般的 possible”，因为在边权具有更多自由度时，det$(D)$与cof$(D)$依赖于树结构。在某种意义上，这完成了对具有交换环中边数据的树$T$的不变量det$(D_T)$、cof$(D_T)$的研究。此外：对双向图$G$，我们证明了det$(D_G)$、cof$(D_G)$、$D_G^{-1}$的乘法型Graham-Hoffman-Hosoya公式。随后我们展示这如何囊括其1978年的结果。最后一节引入并计算了树的第三个新颖不变量，以及我们“最一般”距离矩阵$D_T$的Graham-Hoffman-Hosoya型结果。