Graham-Pollak 树定理向偶数阶 Steiner 距离的推广

Graham 和 Pollak 于 1971 年表明，树的距离矩阵的行列式仅取决于其顶点数量，特别是它总是非零的。图中$k$个顶点集合的 Steiner 距离是包含这些顶点的任何连通子图中的最少边数；对于$k=2$，这简化为图距离的常规定义。在此，我们证明了如果$k$为偶数，则$k$阶 Steiner 距离超矩阵的超行列式总是非零的，从而将他们的结果推广到$k=2$之外。此前，作者已证明对于奇数$k$，$k$-Steiner 距离超行列式总是为零，因此结合起来这提供了对所有$k$的推广。我们猜想，不仅是否为零，而且$n$顶点树的$k$-Steiner 距离超行列式的值本身也仅取决于$k$和$n$。