哈明立方中子集的距离矩阵

Graham 与 Winkler 推导了哈明立方 $H_{n} = ( \{ 0,1 \}^{n}, \ell_{1} )$ 中 $n + 1$ 个满维点 $\{ x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n} \}$ 的距离矩阵行列式公式。本文中，我们推导了 $H_{n}$ 中任意 $m + 1$ 个点 $\{ x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{m} \}$ 的距离矩阵 $D$ 的行列式公式。由这一更一般的公式可得：$\det (D) \not= 0$ 当且仅当向量 $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{m}$ 仿射无关。取 $m = n$ 的情形可对新见解原 Graham–Winkler 公式提供新见解。我们指出了 $m < n$ 与 $m = n$ 情形之间的一个显著差异。我们还证明：若 $D$ 为含 $n + 1$ 个顶点的无权树的距离矩阵，则 $\langle D^{-1} \mathbf{1}, \mathbf{1} \rangle = 2/n$，其中 $\mathbf{1}$ 为各坐标均为 $1$ 的列向量。最后，我们给出了 Murugan 关于 $H_{n}$ 中具有严格 $1$-负型子集分类的新证明。