关于具有Q-独立方向集的平面构型的单位距离问题的注记

设$T(n)$表示欧几里得平面$\mathbb{R}^2$中$n$个点集所能确定的最大单位距离数，附加条件是构型所确定的单位长度方向集必须是$\mathbb{Q}$-独立的。这与埃尔德什单位距离问题相关，但对方向集附加了一个“一般”的简化假设。我们证明$T(n+1)-T(n)$等于$n$的汉明重量，即$n$的二进制展开中非零二进制系数的个数，并显式地给出了$T(n)$的公式。特别地，$T(n)$是$\Theta(n \log n)$。此外，我们描述了一个构造过程，可以在平面上构造一个具有$\mathbb{Q}$-独立单位长度方向集的$n$点集，该点集恰好达到$T(n)$个单位距离。在此过程中，我们证明$T(n)$也等于在可数无限格$\mathbb{Z}^{\infty}$或无限超立方体图$\{0,1\}^{\infty}$中，大小为$n$的顶点子集所能确定的最大边数。确定$T(n)$的问题可以视为一种堆积问题或等周问题。