具有两个平凡距离理想的图的特征

图的距离理想是一类代数不变量，广泛推广了 Smith 规范型 (SNF) 和多个距离矩阵的谱。一般情况下，距离理想在取诱导子图时并非单调。然而，在 [7] 中，对在 $\mathbb{Z}[X]$ 和 $\mathbb{Q}[X]$ 上具有单个平凡距离理想的连通图的特征化给出了以诱导子图为界的描述，其中 $X$ 为以顶点为索引的变量集合。后来，在 [3] 中，首次尝试特征化在 $\mathbb{Z}[X]$ 上最多有两个平凡距离理想的连通图族。其中证明了这些图是 $\{ \mathcal{F}, \textsf{odd-holes}_{7}\}$-free，其中 $\textsf{odd-holes}_{7}$ 由长度至少为七的奇数环组成，$\mathcal{F}$ 为十六个图的集合。本文给出了 $\{ \mathcal{F}, \textsf{odd-holes}_{7}\}$-free 图的特征化，并证明 $\{ \mathcal{F}, \textsf{odd-holes}_{7}\}$-free 图恰好是指在 $\mathbb{Z}[X]$ 上最多有两个平凡距离理想的图。作为副产品，我们还发现连通二分图的距离矩阵行列式为偶数，这表明可以将 Graham-Pollak-Lov\'asz 著名公式 $\det(D(T_{n+1}))=(-1)^n n 2^{n-1}$ 推广到连通二分图上，以及 Hou-Woo 结果即 $\text{SNF}(D(T_{n+1}))=\textsf{I}_2 \oplus 2\textsf{I}_{n-2} \oplus (2n)$，适用于任意以 $n+1$ 个顶点组成的树 $T_{n+1}$。最后，我们还给出了在 $\mathbb{Q}[X]$ 上最多有两个平凡距离理想的图、以及最多有两个平凡距离单变量理想的图的特征化。