正规有向图的谱超额定理的变体

众所周知，每个距离正则有向图都是连通且正规的。一个有趣的问题是：给定的连通正规有向图何时是距离正则的？受此问题启发，我们首先给出弱距离正则有向图的一些刻画。特别地，我们证明了给定的连通有向图是否为弱距离正则仅取决于两个不变量的相等性。随后，我们证明了一个具有 $d+1$ 个不同特征值的连通正规有向图 $\G$ 是距离正则的，当且仅当其简单超额（即顶点间距离为 $d$ 的最短路径数均值的平方与从每个顶点出发距离为 $d$ 的顶点数均值的比值；若 $d$ 大于直径，则该值为零）等于谱超额（一个可从 $\G$ 的谱计算得出的数值）。事实上，这一结果是 Fiol 和 Garigga 针对连通正规有向图提出的谱超额定理的一个新变体（简单变体）。利用这些结果，我们导出了连通正规有向图谱超额定理的另一个变体（加权变体）。有向图（以及图）的距离正则性通常不由其谱决定。作为简单变体的应用，我们证明了具有 $d+1$ 个不同特征值的连通正规有向图 $\G$ 的距离正则性由其谱和不变量 $\delta_d$（从每个顶点出发距离为 $d$ 的顶点数的均值）共同决定。最后，作为加权变体的应用，我们证明了任何具有 $d+1$ 个不同特征值且直径为 $D$ 的连通正规有向图 $\G$，要么是二部有向图，要么是广义奇图，要么其奇围长至多为 $\min\{2d-1,2D+1\}$，从而推广了 van Dam 和 Haemers 的结果以及 Lee 和 Weng 最近的一项结果。