度-距离与传输-邻接矩阵

设 $G$ 为具有邻接矩阵 $A(G)$ 的连通图。$G$ 的距离矩阵 $D(G)$ 的行与列由 $V(G)$ 索引，其 $uv$ 元等于距离 $\mathrm{dist}(u,v)$，即顶点 $u$ 与 $v$ 间最短路径的边数。顶点 $u$ 的传输 $\mathrm{trs}(u)$ 定义为 $\sum_{v\in V(G)}\mathrm{dist}(u,v)$。令 $\mathrm{trs}(G)$ 为以 $G$ 的顶点传输为对角元的对角矩阵，$\mathrm{deg}(G)$ 为以顶点度为对角元的对角矩阵。本文研究矩阵 $D^{\mathrm{deg}}_+(G):=\mathrm{deg}(G)+D(G)$、$D^{\mathrm{deg}}(G):=\mathrm{deg}(G)-D(G)$、$A^{\mathrm{trs}}_+(G):=\mathrm{trs}(G)+A(G)$ 与 $A^{\mathrm{trs}}(G):=\mathrm{trs}(G)-A(G)$ 的 Smith 标准形(SNF)与谱。特别地，我们探究这些矩阵的谱与 SNF 在判定图同构方面的优良程度。我们发现与其他经典矩阵相比，$A^{\mathrm{trs}}$ 的 SNF 表现出有趣的行为。我们注意到 $A^{\mathrm{trs}}$ 的 SNF 可用于计算某些图的沙堆群结构。我们计算了若干图族的 $D^{\mathrm{deg}}_+$、$D^{\mathrm{deg}}$、$A^{\mathrm{trs}}_+$ 与 $A^{\mathrm{trs}}$ 的 SNF。我们证明完全图可由 $D^{\mathrm{deg}}_+$、$D^{\mathrm{deg}}$、$A^{\mathrm{trs}}_+$ 与 $A^{\mathrm{trs}}$ 的 SNF 确定。最后，我们给出了关于 $D^{\mathrm{deg}}$ 与 $A^{\mathrm{trs}}$ 谱的一些结果。