图的加性-乘性距离矩阵及一个新的第三不变量

Graham 与 Pollak 以及 Hoffman-Hosoya 证明了，对于任意具有强块 $G_e$ 的有向图 $G$，距离矩阵 $D_G$ 的行列式 $\det(D_G)$ 与余因子和 $cof(D_G)$ 可由各块 $G_e$ 的相同量计算得到。这一点被推广到树——并在我们近期的工作中推广到任意图——使用乘性和 $q$-距离矩阵。对于树，我们更进一步，将单位交换环上带权重的以往所有变体统一为具有加性与乘性边数据的距离矩阵。在本工作中：(1) 我们引入每个强连通图 $G$ 的加性-乘性距离矩阵 $D_G$，使用我们称之为加性-乘性块数据 $\mathcal{G}$ 的结构。这包含了先前对所有图所研究的加性、乘性和 $q$-距离。(2) 我们引入一个迄今看似新颖的不变量 $\kappa(D_G)$，并用它给出“主” Graham-Hoffman-Hosoya (GHH) 恒等式，将 $\det(D_G), cof(D_G)$ 用块 $G_e$ 表示。我们展示了这些恒等式如何蕴含所有先前的变体。(3) 我们证明 $\det(.), cof(.), \kappa(.)$ 不仅对于 $D_G$，而且对于 $D_G$ 的若干子式，都仅依赖于块数据。这一点迄今在任何情形下都未被研究；我们在“最一般”的加性-乘性情形下证明它，从而也在所有已知情形下成立。(4) 我们以闭式给出 $D_G^{-1}$；这特化到所有已知变体。特别地，我们恢复了先前关于加性-乘性树 $D_T^{-1}$ 的公式（其本身特化到 Graham-Lovasz 的一个结果并回答了 Bapat-Lal-Pati 在 2006 年提出的一个问题）。(5) 我们还表明，对于每图 $G$ 的最一般加性-乘性矩阵 $D_G$，在 $D_G^{-1}$ 中使用的“正确”矩阵不是拉普拉斯矩阵，而是一个密切相关的矩阵。作为例子，我们以闭式计算了超树的 $\det(D_G), cof(D_G), \kappa(D_G), D_G^{-1}$。