有限树乘积的稠密子集

我们证明了有限密度 Halpern-Läuchli 定理的一个“均匀”版本。具体而言，称一棵树 $T$ 为齐次的，若它有唯一根且存在整数 $b\geq 2$（称为 $T$ 的分支数），使得每个 $t\in T$ 恰有 $b$ 个直接后继。我们证明如下结果。对每个整数 $d\geq 1$，每个 $b_1,...,b_d\in\mathbb{N}$ 且对所有 $i\in\{1,...,d\}$ 有 $b_i\geq 2$，每个整数 $k\meg 1$ 以及每个实数 $0<\epsilon\leq 1$，存在一个具有以下性质的整数 $N$。若 $(T_1,...,T_d)$ 是齐次树，使得对所有 $i\in\{1,...,d\}$，$T_i$ 的分支数为 $b_i$，$L$ 是 $\mathbb{N}$ 的一个基数至少为 $N$ 的有限子集，且 $D$ 是 $(T_1,...,T_d)$ 的层乘积的一个子集，满足对每个 $n\in L$ 有 $$|D\cap \big(T_1(n)\times ...\times T_d(n)\big)| \geq \epsilon |T_1(n)\times ...\times T_d(n)|$$，则存在 $(T_1,...,T_d)$ 的高度为 $k$ 且具有公共层集的强子树 $(S_1,...,S_d)$，使得 $(S_1,...,S_d)$ 的层乘积包含于 $D$。具有此性质的最小整数 $N$ 将记为 $UDHL(b_1,...,b_d|k,\epsilon)$。主要之处在于该结果与有限集 $L$ 的位置无关。证明基于密度增量策略，并给出了数 $UDHL(b_1,...,b_d|k,\epsilon)$ 的显式上界。