两棵独立随机树副本所共享诱导子树数的期望

考虑一棵带叶集$[n]$的根树$T$,且其所有非叶顶点的出度至少为$2$。当$S\subset [n]$时,根树$\mathcal T$由$S$在$T$中诱导,若$\mathcal T$是$S$的最低公共祖先子树,并将其所有2度顶点压缩。对于两棵树$T'$与$T''$的“最大一致子树”(MAST)是指具有最大叶集$S\subset [n]$的树$\mathcal T$,使得$\mathcal T$在$T'$与$T''$中均由$S$诱导。Bryant等人\cite{BryMcKSte}与Bernstein等人\cite{Ber}证明(除其他结果外):当$T'$与$T''$为一棵随机二叉树(均匀或Yule-Harding分布)$T$的两份独立副本时,$\text{MAST}(T',T'')$的可能量级阶为$O(n^{1/2})$。我们对一类广泛的随机根树证明了该界:$T$是一个分支的Galton--Watson过程的终端树,其具有均值为$1$的有序后代分布,并以“总叶数为$n$”为条件。