由树乘积索引的可测事件

若一棵树 $T$ 具有唯一根，且存在一个称为 $T$ 的分支数 (branching number) 的整数 $b\ge 2$，使得 $T$ 中的每个节点 $t$ 恰好有 $b$ 个直接后继，则称该树为齐次树。向量齐次树 $\mathbf{T}$ 是齐次树的有限序列 $(T_1,...,T_d)$，其层积 $\otimes\mathbf{T}$ 是笛卡尔积 $T_1\times ...\times T_d$ 的子集，由所有具有共同长度的节点有限序列 $(t_1,...,t_d)$ 组成。我们研究了由向量齐次树 $\mathbf{T}$ 的层积 $\otimes\mathbf{T}$ 索引的概率空间中可测事件的行为。我们表明，通过将索引集细化为 $\mathbf{S}$ 的向量强子树 $\bfcs$ 的层积 $\otimes\mathbf{S}$，此类事件族会变得高度相关。我们还建立了 Lebesgue 密度定理的一个类比，这可被视为密度 Halpern-L\"{a}uchli 定理的“概率”版本。