识别树状k-相异度

有限集X（|X| >= k）上的k-相异度D是从X的大小为k的子集到实数的映射。这样的映射自然来自以X为叶集的边赋权树T：给定X的大小为k的子集Y，D(Y)定义为T的以Y为叶集的最小子树的总长度。当k=2时，众所周知，以这种方式产生的2-相异度可以用所谓的“四点条件”来刻画。然而，当k>2时，Pachter和Speyer最近提出了以下问题：给定一个任意的k-相异度，我们如何检验这个映射是否来自一棵树？在本文中，我们回答了这个问题，表明对于k>=3，集合X上的k-相异度来自一棵树当且仅当它对X的每个2k元子集的限制来自某棵树，并且2k是确保这一点的最小可能子集大小。作为推论，我们表明存在一个多项式时间算法来确定k-相异度何时来自一棵树。我们还给出了一个六点条件来确定3-相异度何时来自一棵树，类似于前述的四点条件。