树的叶子数与直径之间的关系

设$L(n,d)$表示阶为$n$、直径为$d$的树中叶子数的最小可能值。1975年Lesniak给出了$L(n,d)$的下界$B(n,d)=\lceil 2(n-1)/d\rceil$。当$d$为偶数时，$B(n,d)=L(n,d)$；但当$d$为奇数时，一般地$B(n,d)$小于$L(n,d)$。例如，$B(21,3)=14$而$L(21,3)=19$。我们证明：对$d\ge 2$，若$d$为偶数则$L(n,d)=\left\lceil \frac{2(n-1)}{d}\right\rceil$，若$d$为奇数则$L(n,d)=\left\lceil \frac{2(n-2)}{d-1}\right\rceil$。同时也考虑了逆问题。设$D(n,f)$表示阶为$n$且恰有$f$片叶子的树的最小可能直径。我们证明：若$n=f+1$则$D(n,f)=2$；若$n=kf+2$则$D(n,f)=2k+1$；若$kf+3\le n\le (k+1)f+1$则$D(n,f)=2k+2$。