关于树拉普拉斯能量的一项猜想

设$G$为具有$n$个顶点、$m$条边的简单图，其拉普拉斯特征值为$\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_{n-1},\mu_n=0$。拉普拉斯能量$LE(G)$定义为$LE(G)=\sum_{i=1}^{n}|\mu_i-\overline{d}|$，其中$\overline{d}=\frac{2m}{n}$为$G$的平均度。Radenkovi\'{c}与Gutman猜想：在$n$阶所有树中，路径图$P_n$具有最小拉普拉斯能量。令$\mathcal{T}_{n}(d)$为阶数$n$、直径$d$的树族。本文中，我们证明任意树$T\in \mathcal{T}_{n}(4)$的拉普拉斯能量大于$P_n$的拉普拉斯能量，从而证明了所有直径为$4$的树的猜想。我们也证明了该猜想对非负悬挂顶点数至多$\frac{9n}{25}-2$的所有树成立。进一步，我们给出$n$阶树猜想成立的一些充分条件。