图的距离拉普拉斯特征值与色数及独立数

对于阶为 $n$ 的连通图 $G$，令 $Diag(Tr)$ 为顶点传输度的对角矩阵，$D(G)$ 为 $G$ 的距离矩阵。$G$ 的距离拉普拉斯矩阵定义为 $D^L(G)=Diag(Tr)-D(G)$，$D^{L}(G)$ 的特征值称为 $G$ 的距离拉普拉斯特征值。令 $\partial_{1}^{L}(G)\geq \partial_{2}^{L}(G)\geq \dots \geq \partial_{n}^{L}(G)$ 为 $G$ 的距离拉普拉斯特征值。给定区间 $I$，令 $m_{D^{L} (G)} I$（或简记为 $m_{D^{L} } I$）为 $G$ 的落于区间 $I$ 中的距离拉普拉斯特征值个数。对于给定区间 $I$，我们根据图 $G$ 的独立数 $\alpha(G)$、色数 $\chi$、悬挂顶点数以及直径 $d$ 来确定 $m_{D^{L} }I$。特别地，我们证明 $m_{D^{L}(G) }[n,n+2)\leq \chi-1$、$m_{D^{L}(G) }[n,n+\alpha(G))\leq n-\alpha(G)$，并说明这些不等式是紧的。我们还证明 $m_{D^{L} (G )}\bigg( n,n+\left\lceil\frac{n}{\chi}\right\rceil\bigg)\leq n- \left\lceil\frac{n}{\chi}\right\rceil-C_{\overline{G}}+1$，其中 $C_{\overline{G}}$ 为 $\overline{G}$ 的连通分支数，并讨论了该界最佳可能的一些情形。此外，我们证明 $m_{D^{L} (G )}[n,n+p)\leq n-p$，其中 $p\geq 1$ 为悬挂顶点数。同时，我们刻画了满足 $m_{D^{L}(G) } (2n-1,2n )= \alpha(G)-1=\frac{n}{2}-1$ 的直径 $d\leq 2$ 的图。最后，我们提出一些感兴趣的问题。