直径与 Laplacian 特征值分布

设 $G$ 为 $n$ 阶简单图。已知 $G$ 的任何 Laplacian 特征值均属于区间 $[0,n]$。对于区间 $I\subseteq [0, n]$，记 $m_GI$ 为 $G$ 在 $I$ 中的 Laplacian 特征值的个数（按重数计算）。当 $G$ 连通时，与 $G$ 的直径 $d$ 相关的已知 Laplacian 特征值分布结果包括：若 $2\le d\le n-3$，则 $m_G[n-d+2,n]\le n-d$；若 $1\le d\le n-3$，则 $m_G[n-d+1,n]\le n-d+1$。本文证明：若 $2\le d\le n-4$，则 $m_G[n-d,n]\le n-d+2$；若 $2\le d\le \lfloor\frac{n}{2} \rfloor$，则 $m_G[n-2d+4,n]\le n-2$。