树的拉普拉斯特征值分布、直径与支配数

对于支配数为 $\gamma$ 的图 $G$，Hedetniemi、Jacobs 与 Trevisan [European Journal of Combinatorics 53 (2016) 66-71] 证明了 $m_{G}[0,1)\leq \gamma$，其中 $m_{G}[0,1)$ 表示 $G$ 在区间 $[0,1)$ 内的拉普拉斯特征值个数。设 $T$ 为直径 $d$ 的树。本文中，我们证明 $m_{T}[0,1)\geq (d+1)/3$。然而，此下界对一般图不成立。达到该下界的所有树被完全刻画。此外，对于树 $T$，我们通过证明 $T$ 的支配数等于 $(d+1)/3$ 当且仅当它恰有 $(d+1)/3$ 个小于 1 的拉普拉斯特征值，建立了拉普拉斯特征值、直径与支配数之间的关系。作为一个应用，这也提供了一类新型树，显示了 Hedetniemi、Jacobs 与 Trevisan 所得不等式的尖锐性。