具有重数为 $n-3$ 的某归一化拉普拉斯特征值的图的完全刻画

设 $G$ 为阶为 $n$ 的连通简单图。令 $\rho_1(G)\geq \rho_2(G)\geq \cdots \geq \rho_{n-1}(G)> \rho_n(G)=0$ 为 $G$ 的归一化拉普拉斯矩阵 $\mathcal{L}(G)$ 的特征值。以 $m(\rho_i)$ 记归一化拉普拉斯特征值 $\rho_i$ 的重数。令 $\nu(G)$ 为 $G$ 的独立数。本文给出了具有重数为 $n-3$ 的某归一化拉普拉斯特征值的图的完全刻画，回答了 [S. Sun, K.C. Das, On the multiplicities of normalized Laplacian eigenvalues of graphs, Linear Algebra Appl. 609 (2021) 365-385] 中一个遗留问题，即不存在满足 $m(\rho_1)=n-3$ ($n\geq 6$) 且 $\nu(G)=2$ 的图。此外，我们确认所有满足 $m(\rho_1)=n-3$ 的图均可由其归一化拉普拉斯谱确定。