随机正则图族中最大非平凡特征值的分布
组合数学
2010-09-15 v2
摘要
最近 Friedman 对许多 d-正则图族证明了 Alon 猜想，即给定任意 epsilon > 0，“大多数”图的最大非平凡特征值的绝对值至多为 2 sqrt{d-1}+epsilon；若最大非平凡特征值的绝对值至多为 2 sqrt{d-1}，则称该图为 Ramanujan 图。这些图在通信网络理论中有重要应用，可用于构造超集中器、无阻塞网络、编码理论与密码学。由于许多应用依赖于最大非平凡正特征值和负特征值的大小，自然要研究它们的分布。我们证明对于若干图族，这些分布可由 beta=1 的 Tracy-Widom 分布很好地建模。若观测到的均值和标准差随顶点数增长的增长率在极限中成立，则在极限中来自二部图族的约 52% 的 d-正则图应为 Ramanujan 图，来自非二部图族的约 27%（假设最大正特征值和负特征值独立）。
引用
@article{arxiv.math/0611649,
title = {The Distribution of the Largest Non-trivial Eigenvalues in Families of Random Regular Graphs},
author = {Steven J. Miller and Tim Novikoff and Anthony Sabelli},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0611649},
year = {2010}
}
备注
23 pages, version 2 (MAJOR correction: see footnote 7 on page 7: the eigenvalue program unkowingly assumed the eigenvalues of the matrix were symmetric, which is only true for bipartite graphs; thus the second largest positive eigenvalue was returned instead of the largest non-trivial eigenvalue). To appear in Experimental Mathematics