社区检测阈值与弱 Ramanujan 性质

Decelle 等人 conjectured 了随机块模型生成的稀疏随机图中社区检测存在一个尖锐阈值。Mossel 等人确立了该猜想的否定部分，证明了在阈值以下无法进行有意义的检测。然而，该猜想的肯定部分迄今为止仍悬而未决。在此，我们解决了该猜想的肯定部分。我们引入了一种修正的邻接矩阵 $B$，该矩阵统计节点对之间给定长度 $\ell$ 的自回避路径，并证明对于对数级的 $\ell$，该修正矩阵的主导特征向量可提供非平凡的检测，从而解决了该猜想。证明的关键步骤在于建立矩阵 $B$ 的弱 Ramanujan 性质。具体而言，$B$ 的谱由两个主导特征值 $\rho(B)$、$\lambda_2$ 和 $n-2$ 个低阶特征值 $O(n^{\epsilon}\sqrt{\rho(B)})$ 组成（对于所有 $\epsilon>0$），其中 $\rho(B)$ 表示 $B$ 的谱半径。当 $d$-正则图的第二大特征值满足 $|\lambda|\le 2 \sqrt{d-1}$ 时，其为 Ramanujan 图。随机 $d$-正则图的第二大特征值 $\lambda$ 为 $2\sqrt{d-1}+o(1)$（参见 Friedman），因此是几乎 Ramanujan 的。平均度 $d$ 至少为对数级（$d=\Omega(\log n)$）的 Erd\H{o}s-R\'enyi 图的第二大特征值为 $O(\sqrt{d})$（参见 Feige 和 Ofek），这是 Ramanujan 性质的一个稍弱版本。然而，这种谱分离性质对于稀疏（$d=O(1)$）Erd\H{o}s-R\'enyi 图不成立。因此，我们的结果表明，通过邻域扩展构造矩阵 $B$，我们可以正则化原始邻接矩阵，最终恢复弱形式的 Ramanujan 性质。