二元删失块模型的谱恢复

社区检测是识别图中社区结构的问题。通常将该图建模为随机块模型的样本，其中每个顶点属于一个社区。两个顶点由边连接的概率取决于这些顶点的社区。在本文中，我们考虑一个具有两个社区的删失社区检测模型，其中大部分数据缺失，因为只有一小部分潜在边的状态被揭示。在此模型中，同一社区内的顶点以概率$p$连接，而相对社区的顶点以概率$q$连接。给定顶点对$\{u,v\}$的连接状态以概率$\alpha$被揭示，在所有顶点对间独立，其中$\alpha = \frac{t \log(n)}{n}$。我们建立了信息论阈值$t_c(p,q)$，使得当$t < t_c(p,q)$时没有任何算法能精确恢复社区。我们表明当$t > t_c(p,q)$时，基于加权有符号邻接矩阵的一个简单谱算法能精确恢复社区。虽然谱算法在对称情形下被证明具有近最优性能，但我们表明在允许两社区内连接概率不同的非对称情形下它们可能失效。特别地，我们证明存在一个参数区间，其中简单的两阶段算法成功，而任何基于加权有符号邻接矩阵前两个特征向量的算法失败。