标记 SBM 中的光谱恢复

我们考虑在带标签的随机块模型 (LSBM) 中进行精确社区恢复的问题，其中每一对顶点都 associated 一个来自集合 $\{0,1, \dots, L\}$ 的标签。来自社区 $i,j$ 的顶点对被赋予标签 $\ell$ 的概率为 $p_{ij}^{(\ell)}$，目标是恢复社区分区。我们提出了一个简单的光谱算法用于精确社区恢复，并展示它在对数级制度下实现信息论阈值，前提是 certain 参数矩阵的特征值是不同的且非零。我们的结果推广了最近的 Dhara, Gaudio, Mossel, 和 Sandon (2023) 的工作，他们显示在 Censored SBM 中，一个光谱算法实现信息论阈值，而 Censored SBM 等价于 LSBM with $L = 2$。有趣的是，他们的算法使用两个图的矩阵表示的特征向量，而我们的算法使用 $L$ 个矩阵的特征向量。