标记随机块模型中的最优簇恢复

我们考虑在标记随机块模型（LSBM）中进行社区检测或聚类的问题，其中具有有限数量$K$个簇，其大小随物品总体数量$n$线性增长。每对物品独立随机地被打上标签，标签$\ell$出现在分别属于索引为$i$和$j$的簇的两个物品之间的概率为$p(i,j,\ell)$。目标是从这些随机标签的观测中重建簇。近期，SBM及其扩展下的聚类引起了大量关注。大多数现有工作旨在刻画参数集合，使得能够推断出与真实簇正相关的簇、或误分类物品比例消失的簇、或完全匹配真实簇的簇。我们找到了这样的参数集合：在一般LSBM下且对任意$s=o(n)$，存在一种平均误分类物品数不超过$s$的聚类算法，这解决了\cite{abbe2015community}中提出的一个开放问题。我们进一步开发了一种基于简单谱方法的算法，该算法在$O(n \mbox{polylog}(n))$计算量内且无需模型参数的先验知识下，达到了这一基本性能极限。